Xu Hướng 2/2023 # Rèn Luyện Kĩ Năng Giải Các Bài Toán Hình Học Phẳng # Top 2 View | Globaltraining.edu.vn

Xu Hướng 2/2023 # Rèn Luyện Kĩ Năng Giải Các Bài Toán Hình Học Phẳng # Top 2 View

Bạn đang xem bài viết Rèn Luyện Kĩ Năng Giải Các Bài Toán Hình Học Phẳng được cập nhật mới nhất trên website Globaltraining.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG **************** I) Suy nghĩ về việc học Toán Hình học phẳng hiện nay. Có khi nào chúng ta tự hỏi làm thế nào để giải một bài toán Hình học phẳng (HHP) chưa? Hay làm sao để có thể giỏi môn HHP, làm sao một bạn nào đó có thể giải nhanh gọn và ấn tượng một bài toán HHP, còn mình thì không? Đúng là những vấn đề này rất thường được đặt ra nhưng muốn trả lời một cách thỏa đáng và đầy đủ thì quả là điều không đơn giản! Cũng giống như các dạng toán khác, để giải một bài toán HHP nào đó, chúng ta cũng cần phải đi từ giả thiết, thông qua các suy luận để tìm ra con đường đến kết luận hoặc một yêu cầu nào đó đặt ra của đề bài. Nhưng đặc biệt hơn, ở môn HHP, ngoài những tư duy logic thông thường, chúng ta còn cần phải có tư duy hình tượng, chúng ta cần phải tìm được quan hệ giữa các yếu tố hình học thông qua cái nhìn trực quan. Với đặc trưng đó, một mặt làm cho chúng ta có thể thấy được vấn đề đang cần giải quyết một cách rõ ràng hơn nhưng mặt khác cũng đòi hòi ở chúng ta một khả năng tưởng tượng phong phú và sâu sắc nếu muốn học tốt dạng Toán này. Trên thực tế, trong những học sinh giỏi Toán, không có nhiều người giỏi HHP; khi tham gia các kì thi HSG, họ sẵn sàng bỏ đi một câu HHP nào đó để có thời gian dành cho những bài Toán khác. Nhưng hầu như trong tất cả các kì thi, ta đều thấy sự góp mặt của một hoặc hai bài Toán HHP nào đó với khoảng 15-25% số điểm cả đề và như thế nó thực sự quan trọng! Có một điều lạ là chúng ta học hình học với thời gian nhiều hơn bất cứ dạng Toán nào khác. Ngay từ lớp 6 chúng ta đã làm quen với các khái niệm điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, góc, Đến lớp 7 chúng ta đã biết định lí là gì và học cách chứng minh chúng: chứng minh hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, chứng minh tổng ba góc của tam giác là 1800,Và chúng ta học và rèn luyện chúng suốt cho đến bây giờ, thời gian đó dài hơn việc học bất cứ một bài toán sử dụng đạo hàm, một bài giới hạn hay lượng giác nào đó. Thế nhưng, dường như Hình học luôn không là một lựa chọn hàng đầu khi bắt đầu cho lời giải của một đề thi HSG. Thậm chí đó còn là nỗi ám ảnh, lo sợ của nhiều bạn HSG Toán. Khi nhìn thấy một bài hình nào đó, họ cố đưa về Đại số càng nhanh càng tốt và sẵn sàng chấp nhận biến đổi, khai thác những biểu thức cồng kềnh thay vì bài toán đó có thể giải một cách nhẹ nhàng bằng hình học thuần túy. Ta cũng không phủ nhận rằng học và giỏi ở HHP không phải là chuyện dễ, có thế cần năng khiếu và rèn luyện lâu dài, phải làm nhiều dạng bài tập để tích lũy cho mình những kinh nghiệm và sự nhạy bén cần thiết để khi đối mặt với một bài HHP nào đó mà không bị ngỡ ngàng, lúng túng. Chẳng hạn như có nhiều học sinh THCS có thể giỏi HHP hơn học sinh THPT là cũng bởi lí do năng khiếu này. Thế nhưng, chẳng may không có năng khiếu thì sao, chẳng lẽ lại bỏ cuộc? Tất nhiên là vẫn còn cách giải quyết, chúng ta hãy tham khảo một số hướng giải quyết và gợi ý rèn luyện sau đây để khắc phục và mong rằng những điều này có thể giúp các bạn rút ra được cho bản thân một ý tưởng mới nào đó cho việc học HHP trong thời gian tới. Thế nhưng, đa số các bạn chưa giỏi HHP thường ghét phần này và tránh làm các bài toán về hình học; do đó, trước hết các bạn hãy làm quen và tiếp xúc nhiều với nó, và lâu dần các bạn có thể tìm thấy trong sự thú vị mà những bài toán HHP đem lại một sự tiến bộ nào đó cho mình. * Chúng ta hãy suy nghĩ về các vấn đề sau:  Làm sao để rút ngắn con đường đi từ giả thiết đến kết luận?  Làm sao để tận dụng hết giả thiết đề bài cho?  Làm sao đưa các kiến thức hình học sẵn có (như một phương pháp hoặc một định lí nào đó) cho việc giải một bài toán HHP?  Làm cách nào để có thể kẻ đường phụ giải một bài toán?  Làm sao để nâng cao hơn trình độ HHP nếu chúng ta đã có một năng lực nhất định? MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN NHƯNG KẺ NHIỀU ĐƯỜNG PHỤ chú trọng phân tích các bước lập luận chứ không đi sâu vào xét các trường hợp của hình vẽ có thể xảy ra nhằm hạn chế sự phức tạp. Dù vậy trên thực tế, khi giải các bài toán HHP, chúng ta nên chú ý điều này, nên xét hết các trường hợp (vị trí các điểm, các tia; phân giác trong, ngoài; tam giác cân, không cân; đường tròn thực sự và suy biến,...) để đảm bảo lời giải được đầy đủ và chính xác! II) Một số cách rèn luyện tư duy hình học và nâng cao kĩ năng giải toán HHP. 1) Lựa chọn công cụ thích hợp để giải một bài toán HHP. Chúng ta hãy thử ngẫm nghĩ lại, khi đang là học sinh THPT như hiện nay, chúng ta đã biết được hết thảy bao nhiêu phương pháp giải một bài toán HHP. Có thể chúng ta biết nhiều định lí, bổ đề nhưng đó cũng chưa thể gọi là một phương pháp theo nghĩa tổng quát. Ở đây, ta nói đến phương pháp là định hướng, là tư tưởng chính của lời giải; giải bằng cách nào chứ chưa đi sâu vào việc giải như thế nào. Xin nêu một số phương pháp cơ bản sau: - Phương pháp hình học thuần túy (quan hệ song song, vuông góc; tam giác đồng dạng, bằng nhau; tính chất của tam giác, đường tròn; các định lí hình học quen thuộc; các phép biến hình,). - Phương pháp lượng giác (đưa yếu tố trong bài về lượng giác của các góc và biến đổi). - Phương pháp vectơ (dùng vectơ trong chứng minh tính chất hình học hoặc dựng một hệ vectơ đơn vị để giải bài toán). - Phương pháp đại số (đưa các yếu tố trong bài về độ dài cạnh và biến đổi). - Phương pháp tọa độ (đưa giả thiết đã cho vào một hệ trục tọa độ và tìm tọa độ điểm, phương Trong đó, mức độ tư duy hình học được thể hiện giảm dần qua thứ tự các phương pháp trên. Nếu chúng ta là một học sinh chưa giỏi HHP thì thường với các bài toán có giả thiết “thuận lợi” thì lập tức sử dụng tọa độ, điều đó tất nhiên có ích cho kĩ năng tính toán, biến đổi đại số của chúng ta nhưng nói chung không có lợi cho việc rèn luyện tư duy hình học. Và đa số các bài toán hình khó có thể sử dụng phương pháp này, chỉ cần một đường tròn hoặc một tâm đường tròn nội tiếp đã khiến cho việc dùng phương pháp tọa độ thật khó khăn rồi. Thế nhưng không phải nói vậy mà ta lại quên đi phương pháp đó được. Có vài bạn đã khá ở nội dung này thì lại không thích sử dụng tọa độ và cố đi tìm một cách giải thuần túy cho nó. Công việc này không phải lúc nào cũng đúng, nhất là đối với các kì thi HSG có thời gian “gấp rút” và số lượng bài toán cần giải được lại tương đối nhiều. Chúng ta hãy thử nói về một bài toán đơn giản sau:  VD1: Cho đoạn thẳng AB cố định và đường thẳng d cố định song song với AB. Điểm C di động trên d. Tìm quỹ tích trực tâm tam giác ABC. * Phân tích: Một số bạn thấy bài toán này có giả thiết thật đơn giản, chỉ có đoạn thẳng cố định, một điểm di động trên đường thẳng song song rồi tìm trực tâm; thêm nữa, bài toán này có vẻ quen thuộc nên họ chỉ vẽ hình ra và cố gắng kẻ đường phụ để giải. Thế nhưng, chắc chắn các bạn này sẽ khó mà tìm được một lời giải hình học thuần túy cho bài toán này khi mà trên thực tế quỹ tích của H là một đường parabol! Nếu không cẩn thận vẽ hình trước nhiều lần để dự đoán quỹ tích, chắc chắn rằng đây không còn là một quỹ tích đường H OA B C thẳng, đường cong thông thường mà mò mẫn đi tìm không đúng cách sẽ không đi đến kết quả muốn có. Bài toán này không khó nhưng nếu không lựa chọn đúng công cụ thì không thể nhanh chóng thành công trong việc giải nó được. * Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét A (-1; 0), B (1; 0) và đường thẳng d có phương trình: , 0y a a  , do C di động trên đó nên có tọa độ là C (m; a), m . Ta sẽ tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC. Phương trình đường cao của tam giác ứng với đỉnh C là: x = m; Phương trình đường cao ứng với đỉnh A là: ( 1)( 1) 0 ( 1) 1 0m x ay m x ay m          Tọa độ trực tâm của tam giác ABC là nghiệm của hệ: 2 ( 1) 1 0 1 x mm x ay m mx m y a             . Suy ra: 21 xy a   Vậy quỹ tích của H là parabol có phương trình: 21 xy a   .  VD2: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, A di động trong mặt phẳng. Gọi G, H lần lượt là trọng tâm, trực tâm của tam giác. Biết rằng đoạn GH cắt BC tại trung điểm của GH, tìm quỹ tích của A. * Phân tích. Ta thấy giả thiết của bài toán không phức tạp nhưng điều kiện GH cắt BC tại trung điểm của GH quả thật hơi khó vận dụng; ta cũng có thể hiểu đơn giản hơn là trung điểm của GH thuộc BC nhưng vậy thì cũng không đem lại nhiều gợi ý cho lời giải bài toán. Và nếu đứng trước những bài toán có giả thiết đơn giản nhưng khó vận dụng như thế thì hãy thử nghĩ đến phương pháp tọa độ. Khi đó, dù các tính chất hình học chưa được thể hiện đầy đủ nhưng các điều kiện hình học thì sẽ được đảm bảo chặt chẽ hơn. Cũng tiến hành lựa chọn một hệ trục tọa độ thích hợp tương tự như trên rồi tính tọa độ các điểm G, H và viết phương trình các đường thẳng cần thiết, đặt vào điều kiện của bài toán, ta sẽ tìm được quỹ tích của điểm A chính là một đường hypebol. Các bạn thử giải lại bài toán này với việc giữ nguyên các giả thiết ban đầu, chỉ thay trực tâm H bằng tâm đường tròn ngoại tiếp O, các công việc nói chung cũng được tiến hành tương tự nhưng dù vậy ta cũng có thêm một khám phá mới. Và nếu được, hãy giải lại hai bài toán vừa rồi bằng phương pháp hình học thuần túy dựa trên định nghĩa các đường conic, tìm tiêu điểm và đường chuẩn của chúng! Đây là một vấn đề không đơn giản. * Ta hãy so sánh hai phương pháp giải bài toán sau để rút ra tầm quan trọng của việc lựa chọn phương pháp phù hợp giải các bài toán HHP: H G A B C  VD3: Cho tam giác ABC. Phía ngoài tam giác ABC dựng các điểm D, E, F sao cho các tam giác BCD, CAE, ABF là các tam giác đều. Chứng minh hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm. Giải: *Cách 1. Sử dụng phương pháp vectơ: (khá nhẹ nhàng và không cần tốn nhiều thời gian để nghĩ ra cách giải này). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Ta có: ( ) ( )AD BE CF AM MD BN NE CP PF AM BN CP MD NE PF                             Dễ thấy: 1 1 1( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 AM BN CP AB AC BA BC CA CB                   Và 0MD NE PF       theo định lí con nhím nên: 0AD BE CF       Vậy hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm. *Cách 2. Sử dụng hình học phẳng thuần túy: (dựng nhiều đường phụ, hướng suy nghĩ hơi thiếu tự nhiên và đòi hỏi có kinh nghiệm về các bài toán có giả thiết tương tự như thế này). Gọi I là trung điểm EF và Q là điểm đối xứng với D qua BC, khi đó: BCQ cũng là tam giác đều. Ta thấy phép quay tâm B góc quay 600 biến C thành Q, biến A thành F nên: ABC FBQ   , tương tự: ABC EQC   FBQ EQC   . Suy ra: FQ = AC = AE, QE = AB = AF và tứ giác AEQF là hình bình hành. Do đó: I chính là trung điểm của AQ, mà M là trung điểm của QD nên IM chính là đường trung bình của tam giác QAD 1 2 IM AD  và IM Gọi G là giao điểm của AM và ID thì theo định lí Thalès: 1 2 GM GI IM GA GD AD    . Hơn nữa G cùng thuộc hai trung tuyến của tam giác ABC và DEF nên nó chính là trọng tâm chung của hai tam giác ABC và DEF. Vậy hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm (đpcm). * Trong việc giải các bài toán bằng phương pháp tọa độ, ta cũng cần chú ý đến việc chọn các hệ trục tọa độ hợp lí: tọa độ các điểm, phương trình đường thẳng cần viết đơn giản; có nhiều liên hệ với các điểm đã cho trong giả thiết, tận dụng được các yếu tố đường song song, vuông góc, trung điểm do hình cần dựng đơn giản, Chẳng hạn chúng ta có bài toán sau: Q I G P F E N D M A B C  VD4: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC. Gọi d là đường thẳng qua D và vuông góc với đường thẳng AD. Trên đường thẳng d lấy một điểm M bất kì. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MB, MC. Đường thẳng qua E vuông góc với d cắt đường thẳng AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt đường thẳng AC tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường thẳng d. * Phân tích. Ta thấy trong đề bài này các giả thiết đưa ra chỉ xoay quanh các yếu tố như trung điểm, đường vuông góc, đoạn thẳng,... nhưng vì có hơi nhiều yếu tố như vậy nên việc liên kết chúng lại và đảm bảo sử dụng được tất cả các giả thiết quả là điều không dễ dàng. Chúng ta có một lời giải bằng cách sử dụng phương pháp hình học thuần túy nhờ kiến thức trục đẳng phương như sau nhưng nó hơi phức tạp vì cần phải kẻ nhiều đường phụ: *Giải. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng d. Do D là trung điểm của BC nên DH = DK, suy ra AD là trung trực của HKAH =AK. Gọi ( ) là đường tròn tâm A đi qua H và K. Gọi H’, K’ lần lượt là các điểm đối xứng với H, K qua các đường thẳng AB, AC H’, K’ thuộc ( ) . Giả sử các đường thẳng HH’, KK’ cắt nhau tại I thì I là điểm cố định. (*) Ta có : PE điểm của MHPE là trung trực của MH  PH = PM. Gọi 1( ) là đường tròn tâm P đi qua H và M, do tính đối xứng nên H’ cũng thuộc 1( ) . Hoàn toàn tương tự, ta cũng có: QF là trung trực của MK; nếu gọi 2( ) là đường tròn tâm Q đi qua K và M thì K’thuộc 2( ) . Ta lại có: + ( ) , 1( ) cắt nhau tai H, H’ nên HH’ là trục đẳng phương của ( ) , 1( ) . + ( ) , 2( ) cắt nhau tai K, K’ nên KK’ là trục đẳng phương của ( ) , 2( ) . Mặt khác : M cùng thuộc 1( ) , 2( ) và P, Q lần lượt là tâm của 1( ) , 2( ) nên đường thẳng d’ qua M, vuông góc với PQ chính là trục đẳng phương của 1( ) , 2( ) . Từ đó suy ra: HH’, KK’, d’ đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn ( ) , 1( ) , 2( ) (**) Từ (*) và (**) suy ra d’ đi qua I là điểm cố định. Vậy đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường thẳng d. Ta có đpcm. d d' QI P H' K' K H FE D A B C M * Ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải nhẹ nhàng bài này vì việc xác định tọa độ trung điểm và viết phương trình đường vuông góc cho các biểu thức đơn giản, đó cũng chính là đáp án chính thức của đề thi HSGQG này. Thế nhưng, cũng không phải cách chọn trục tọa độ nào cũng cho ta một lời giải nhanh gọn. Nếu chọn hệ trục tọa độ gốc D và trục hoành trùng với BC theo suy nghĩ thông thường thì lời giải sẽ dài và phức tạp hơn so với chọn gốc tọa độ là D và trục hoành là đường thẳng d. Các bạn hãy thử với cách này sẽ thấy ngay sự khác biệt đó! Qua các VD trên, ta thấy rằng việc lựa chọn công cụ thích hợp để giải các bài toán hình học cũng là một yếu tố quan trọng để có thể đi đến kết quả một cách đơn giản và ngắn gọn hơn, nhiều khi đó cũng là cách duy nhất có thể giải quyết được vấn đề. 2) Về việc tận dụng giả thiết của đề bài. Trong một bài toán thông thường, các giả thiết đưa ra, dù ít hay nhiều, dù gián tiếp hay trực tiếp, thì ở trong bất cứ lời giải nào của bài toán đều được tận dụng. Một bài toán càng có ít giả thiết thì nói chung việc sử dụng chúng càng đơn giản bởi không phải dễ dàng gì cho việc đưa hàng loạt giả thiết, yếu tố, các quan hệ hình học vào lời giải của mình. Mỗi giả thiết đưa ra đều có mục đích và tầm quan trọng nhất định; nhiệm vụ của chúng ta là xác định xem cái nào là quan trọng nhất và làm sao để tận dụng và liên kết tất cả vào trong lời giải bài toán của mình! Trước hết, ta hãy đặt câu hỏi : “giả thiết đó nói lên điều gì?”, chẳng hạn cho giả thiết: tam giác ABC có M, N, P là trung điểm các cạnh, điều đó gợi cho ta suy nghĩ rằng: - Các cạnh của tam giác MNP song song và bằng nửa các cạnh của tam giác ABC tương ứng; - Tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng là ½; - Diện tích tam giác MNP băng ¼ diện tích tam giác ABC; - Phép vị tự tâm G – trọng tâm tam giác ABC với tỉ số -1/2 biến tam giác ABC đã cho thành tam giác MNP; - Hai tam giác này có cùng trọng tâm; - Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP chính là đường tròn Euler nên nó cũng đi qua chân các đường cao và trung điểm các đoạn nối trực tâm và đỉnh của tam giác ABC; - Trực tâm của tam giác MNP cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, ... * Có thật nhiều suy nghĩ từ một giả thiết và nếu ta bỏ sót một trong số chúng thì có thể không giải được bài toán vì đó chính là chìa khóa vấn đề (tất nhiên cũng không phải dùng hết các ý). Chúng ta càng có được nhiều liên tưởng khi kiến thức hình học của chúng ta càng nhiều và kinh nghiệm càng sâu sắc, điều đó đòi hỏi ta cần làm một số lượng nhất định các bài toán HHP. Tiếp theo ta lại hỏi: “vậy nếu chưa có nhiều kinh nghiệm thì sao?”, tất nhiên cũng có một cách nhỏ này giúp ta có thể thấy trực quan hơn giả thiết đó. Chúng ta hãy thử đi tìm cách dựng các “giả thiết” đó bằng thước và compa, nhất là với các giả thiết có phần phức tạp, điều này nhiều lúc cũng rất có ích. Chúng ta thử tìm hiểu rõ điều đó qua bài toán sau:  VD5: Cho tam giác ABC có K là điểm nằm trong tam giác và thỏa:  KAB KBC KCA  . Gọi D, E, F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác KBC, KCA, KAB. Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của BC, FD; CA, DE; AB, EF. Chứng minh rằng: các tam giác ABC, DEF, MNP đồng dạng với nhau. * Phân tích: Ta thấy điểm K cho như trên là một giả thiết quen thuộc (điểm Brocard) nhưng nói chung các tính chất ta đã biết về nó không phục vụ nhiều cho điều cần chứng minh ở đây. Nếu như ta vẽ một hình đơn điệu như bên dưới thì việc giải và định hướng cho bài toán sẽ không đơn giản. Ta sẽ thử dùng phép dựng hình xác định điểm K trong giả thiết bằng thước và compa để xem thử nó có tính chất gì đặc biệt không. Ta dễ dàng có được phép dựng hình sau: - Dựng trung trực của đoạn AB và đường thẳng vuông góc với BC tại B, gọi F là giao điểm của hai đường thẳng trên. - Dựng đường tròn tâm F bán kính FA. - Tương tự, dựng điểm E là giao điểm của trung trực AC và đường thẳng vuông góc với AC tại A. - Dựng đường tròn tâm E, bán kính EA. - Giao điểm của hai đường tròn trên chính là điểm K cần tìm. Từ việc tìm cách dựng cho điểm K, ta cũng đã có thêm trên hình một số đường phụ cần thiết, bài toán đã rõ ràng hơn nhiều. Với những gợi ý có được từ hình vẽ ta vừa dựng, có thể giải quyết được bài toán này theo cách như sau: - Chứng minh AK EF,BK DE  . - Chứng minh:   0AKB DFE 180  . - Chứng minh:   0AKB ABC 180  - Suy ra: ABC EFD(g.g)  - Suy ra tứ giác BMPF nội tiếp và MP EF . - Chứng minh:  MPN FED . - Chứng minh: MPN FED(g.g)  . Từ đó suy ra đpcm. * Còn đối với các bài toán mà hình vẽ không thể dựng được bằng thước và compa thì sao, chẳng hạn như định lí Mooley: “Cho tam giác ABC. Các đường chia ba các góc của tam giác cắt nhau tại các điểm M, N, P. Chứng minh tam giác MNP đều.” Ta biết rằng việc chia ba một góc không thể dựng được bằng thước và compa nên cách tìm gợi ý từ việc dựng hình không thể thực hiện được. Và có lẽ vì vậy mà đến sau hơn 50 năm xuất hiện, bài toán nổi tiếng này mới có một lời giải HHP thuần túy rất đẹp và hoàn chỉnh. Nhưng đó là câu chuyện của những bài toán nổi tiếng thế giới; trên thực tế, nếu cần thiết, chúng ta luôn có thể dùng cách dựng hình này cho việc tìm gợi ý cho bài toán và tận dụng được giả thiết của đề bài. N P M F C K D E A B N P M F C K D E A B 3) Về việc rút ngắn con đường đi từ giả thiết đến kết luận. Cũng tương tự phần trên, ta cũng đặt các câu hỏi: “kết luận đó từ đâu mà ra?”, “những điều đó có liên hệ gì đến giả thiết của chúng ta có?”. Chúng ta cũng tiến hành đi ngược lên từ điều cần chứng minh, tìm ra các điều cần phải có để tìm ra có được kết luận.  VD6: Cho tam giác ABC có đường cao BD và CE cắt nhau tai H. M là trung điểm của

5 Cách Giải Toán Hình Học Không Gian Nhanh Nhất

5 cách giải toán hình học không gian nhanh nhất

BÀI TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:

Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó.

– Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy. – Điểm chung thứ hai là giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.

Cách 2: Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng song song thì chỉ cần tìm 1 điểm chung, khi đó giao tuyến sẽ đi qua điểm chung và song song với 2 đường thẳng này

BÀI TOÁN 2: Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:

– Ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P). – Khi không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm một mp (Q) chứa a. 2. Tìm giao tuyến b của (P) và (Q). 3. Gọi: A = a ∩ b thì: A = a ∩ (P).

BÀI TOÁN 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:

Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2 mặt phẳng phân biệt.

BÀI TOÁN 4: Chứng minh 3 đường thẳng a, b, c đồng quy. Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:

– Cách 1: Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.

Tìm A = a ∩ b.

Tìm 2 mp (P), (Q), chứa A mà (P) ∩ (Q) = c.

– Cách 2: Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.

BÀI TOÁN 5: Tìm tập hợp giao điểm M của 2 đường thẳng di động a, b. Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:

– Tìm mp (P) cố định chứa a. – Tìm mp (Q) cố định chứa b. – Tìm c = (P) ∩ (Q). Ta có M thuộc c. – Giới hạn.

BÀI TOÁN 6: Dựng thiết diện của mp(P) và một khối đa diện T. Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:

Muốn tìm thiết diện của mp(P) và khối đa diện T, ta đi tìm đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của T. Để tìm giao tuyến của (P) với các mặt của T, ta thực hiện theo các bước:

1. Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của T. 2. Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này từ đó làm tương tự ta tìm được các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ có thiết diện cần dựng.

1. Nắm chắc lí thuyết

Khác với Toán đại số, phần hình học không gian đòi hỏi bạn cần phải nắm bắt và hiểu thật rõ lí thuyết. Thậm chí là cần phải học thuộc tất cả các định lí, định nghĩa quan trọng.

Bởi điều này sẽ quyết định tới việc vẽ hình của bạn. Sẽ không vẽ được hình nếu không nắm chắc lí thuyết và đương nhiên là cũng không thể làm được bài tập. Nhưng chỉ học thuộc thì chưa đủ, cần phải biết vận dụng vào các bài tập, biến nó thành kĩ năng mới có thể nhớ lâu được.

2. Biết cách vẽ hình và tưởng tượng khi giải toán hình học không gian

Trước hết cần biết cách vẽ hình, nếu hình sai thì không thể làm được bài. Và một quy tắc chấm điểm là: vẽ sai hình thì bài làm sẽ không được tính điểm. Nhìn vào một hình cần phải biết tưởng tượng.

Điều này tưởng như khó, nhưng thực chất lại khá dễ nếu thường xuyên rèn luyện: vẽ đường nét đứt khi bị khuất, vẽ nét liền khi nhìn thấy. Một chú ý nhỏ nữa là hãy vẽ hình bằng bút chì, sau đó mới tô lại bằng bút mực; để tránh trường hợp vẽ bút mực ngay từ đầu, bởi khi sai sẽ không thể xóa đi được.

3. Làm nhiều bài tập

Hình không gian thực chất không khó, muốn giải toán hình học không gian nhanh nhất chỉ cần làm nhiều bài tập và cố gắng ghi nhớ là có thể dễ dàng đạt được điểm. Hãy biết cách học theo các dạng bài khác nhau, không nên học theo kiểu tràn lan, không rõ dạng vì như vậy sẽ rất khó để có thể học tốt phần hình này.

4. Chọn sách tham khảo

Không phải bất cứ sách tham khảo nào cũng tốt, bạn nên biết cách chọn sách sao cho phù hợp với mình. Nhưng cuốn sách đó nên có những phần như sau: trước hết cũng tóm tắt lại lí thuyết trong sách giáo khoa và cho ví dụ cụ thể. Sau đó là bài tập được phân dạng và phải có đáp án, với lời giải chi tiết rõ ràng.

5. Tìm bằng được đáp án

Muốn học được hình học không gian bạn nên chủ động nhờ thầy cô giảng giúp khi một bài tập không làm được. Hăng hái phát biểu và chữa bài ngay trên lớp để khắc sâu kiến thức. Cùng nhau chia sẻ bài tập với các bạn trong lớp, sẽ biết được nhiều dạng bài hay, bởi “học thầy không tày học bạn”.

Nhiều bạn có tư tưởng là không xem đáp án khi không làm được bài, vì cho rằng đó là điều không tốt. Nhưng không phải như vậy bạn ạ, nên và cần xem đáp án.

Nhưng nên tránh việc bê nguyên đáp án chép vào vở, vì như vậy chỉ làm cho bạn mất thời gian mà không có kiến thức. Khi biết cách biến kiến thức trong sách, thành kiến thức của mình thì bạn sẽ làm tốt hầu hết các dạng toán.

Rèn Luyện Kỹ Năng Giữ Bình Tĩnh Như Thế Nào?

Bạn có bao giờ để ý rằng tại sao mình rất dễ mất bình tĩnh trong khi người khác lại không chưa, ai cũng có áp lực trong cuốc sống, cũng có vô vàn nỗi lo, sự sợ hãi, nhưng mọi người đều đối mặt vượt qua nó, tại sao mình không vượt qua được, tại sao mình luôn nóng nảy, mất bình tĩnh trước một áp lực gì đó, đó tại vì bạn chưa làm chủ được cảm xúc của mình, vì không làm chủ được cảm xúc nên dẫn đến không làm chủ được hành vi dẫn đến những hậu quả rất đáng tiếc. Vì vậy, việc bạn cần bây giờ là tìm ra những giải pháp để giúp tất cả mọi người có thể nâng cao được khả năng làm chủ cảm xúc trong những tình huống khó khăn nhất.

Tạm dừng và hít thở sâu

Khi bạn đang rơi vào tình trạng căng thẳng, nóng giận, mất bình tĩnh nếu không làm chủ được bản thân, rất có thể bạn sẽ đưa ra những hành động, lời nói mà sau khi bình tĩnh sẽ phải hối tiếc, lúc này bạn hãy nhắm mắt lại đếm đến 10s sau đó hít thở thật sâu bạn sẽ thấy mình bình tĩnh lại, việc làm này sẽ có tác dụng giảm lượng adrenaline một chất do tuyến thượng thận tức ra khi chúng ta nóng nảy, tức giận.

Lần sau, khi bạn vướng phải một tình huống căng thẳng, hãy dừng lại một phút và làm những bước sau:

Hít thở sâu bằng bụng năm lần.

Hãy tưởng tượng rằng mỗi lần thở ra là bạn đang tống căng thẳng ra ngoài.

Mỉm cười, nếu cần thiết hãy giả vờ cười, bạn sẽ thấy khó mà nhăn nhó với một nụ cười trên gương mặt.

Hãy làm việc này thường xuyên, bất cứ nơi nào, ở nhà cho đến cơ quan, bạn sẽ thấy khả năng bình tĩnh của mình được cải thiện đáng kể đấy.

Thả lỏng cơ thể

Chắc chắn khi tức giận, mất bình tĩnh cơ thể bạn sẽ gồng lên như cơ mặt nhăn nhó, nghiến răng, rút vai, để lấy lại sự bình tĩnh thì sau khi tập hít thở sâu, hãy kiểm tra xem trên cơ thể bạn có nơi nào chưa thả lỏng tự nhiên hay không. Hãy cố gắng để nó về trạng thái bình thường, thư giãn bằng cách mát-xa nhẹ nhàng những vùng đang căng thẳng( gợi ý là bạn nên tưởng tượng rằng bạn đang ở một nơi nào đó làm bạn thấy yên bình: bãi biển, bồn tắm nước nóng, hoặc trên một con đường quê…).

Một nguyên tắc để rèn luyện sự bình tĩnh đó là không bao giờ được phép phản ứng ngay sau khi bạn đang thực sự bị kích động, thay vào đó bạn hãy giữ bình tĩnh và tự hỏi mình một số câu:

Tại sao mình lại bị kích động như thế?

Có phải mình đang mất bình tĩnh không?

Người khác sẽ phản ứng gì khi mình hành động như thế?

Điều gì đáng để mình mất bình tĩnh như vây…?

Việc đó có ảnh hưởng gì tới mình sau này không?

Tất cả những câu hỏi đơn giản này sẽ giúp kích thích phần trí tuệ trong bộ não để bạn không làm ra những phản ứng thái quá.

Đừng đòi hỏi quá nhiều

Hãy nghĩ rằng cuộc sống không thể hoàn toàn diễn ra theo ý bạn, bạn không thể kiểm soát được hành vi của người khác, nên đừng bắt họ phải theo ý mình, khi bạn bắt người khác và bạn phải hoàn hảo phải theo ý mình thì bạn đang mang thêm một gánh nặng cho mình, hãy bỏ đi, cuộc sống mà, có lúc này cũng có lúc khác đúng không, hãy đơn giản mọi chuyện thì suy nghĩ của bạn sẽ chuyển dần từ sự giận dữ sang những điểu giúp bạn cảm thấy dễ chịu hơn.

Loại bỏ những suy nghĩ tiêu cực

Chắc chắn rằng khi mất bình tĩnh bạn sẽ có nhưng tư tưởng oán giận như: “Thật không công bằng với mình” “Hắn ta sẽ phải trả giá” ” Tôi sẽ làm cho ra nhẽ”. ” Tôi sẽ giết chết người đó nếu tôi gặp được”, ” Mình sẽ chết mất”. Càng suy nghĩ như vậy sẽ càng làm cho sự bực tức của bạn tồi tệ hơn, cơ mặt sẽ gồng lên, nóng bừng. Vì thế hãy loại bỏ những ý nghĩ đó đi.

Hãy bước ra ngoài.

Một điều rất hay gặp ở hầu hết mọi người là lúc căng thẳng, mất bình tĩnh, strees thường đóng cửa ở trong phòng tức giận, kể cả khóc lóc tự dầy vò bản thân, tại sao lúc đó bạn không bước ra ngoài để đón nhận luồng không khí trong lành như đi bộ, đạp xe hoặc lên một chuyến xe bus nào đó đi vòng quanh thành phố, khi đó bạn sẽ cảm thấy được những điều tốt đẹp từ thiên nhiên.

Tác dụng của thiên nhiên đối với việc giảm căng thẳng là rất tốt. Suy cho cùng con người cũng do tự nhiên sinh ra và còn gì thư thái hơn khi nằm trong vòng tay của mẹ mình.

Rèn luyện tính kiên nhẫn mỗi ngày

Mỗi ngày bạn có thể rèn luyện tính kiên nhẫn bằng nhiều cách khác nhau, bạn sẽ thấy kỹ năng giữ bình tĩnh của bạn tăng lên rất nhiều lần, đó là những việc làm rất nhẹ nhàn như:

Hãy học cách nhìn nhận vấn đề từ mọi phía, suy nghĩ cho mình nhưng cũng đừng quên đặt mình vào người khác để cảm nhận.

Mỉm cười nhiều hơn

Đi câu cá chẳng hạn

Khi đi siệu thị lúc thanh toán hãy chọn hàng dài nhất.

Đi dạo qua những công viên

Ghi lại những việc đã qua trên một cuốn nhật ký, sau này khi đọc lại bạn sẽ cảm thấy rất thú vị và mỉm cười vì những việc bạn đã trải qua.

Bí Quyết Học Giỏi Tiếng Anh( Kĩ Năng Giao Tiếp)

Tiếng Anh là một công cụ không thể thiếu trên con đường hội nhập và phát triển. Tuy nhiên, có một thực tế đáng buồn đang xảy ra ở nước ta đó là, nhiều người đã bỏ ra khá nhiều thời gian học tiếng Anh mà vẫn không thể giao tiếp, trao đổi bằng tiếng Anh được.

Chúng ta có thể nêu lên vô vàn nguyên nhân nhưng ít ai để ý đến một điểm rất quan trọng, gần như là then chốt của vấn đề: Quan điểm dạy và học tiếng Anh đúng đắn, phù hợp. Mời bạn tìm hiểu các quan điểm sau đây:

1. Xác định mục đích

Trước tiên chúng ta hãy xác định mục đích của việc học tiếng Anh. Dù với bất kỳ mục đích trước mắt nào đi nữa chúng ta cũng nên nhớ đến mục đích dài lâu, đó chính là yêu cầu thực tế trong đời sống, việc làm. Trong việc học tiếng Anh, cũng như trong bất cứ việc gì, việc xác định mục đích rất quan trọng và phải được thực hiện trước tiên.

2. Giao tiếp và văn phạm

Trong giao tiếp chúng ta có thể xem khả năng truyền thông là mục đích chính và văn phạm chỉ đóng vai trò hỗ trợ cho mục đích này. Quá chú ý đến văn phạm sẽ cản trở phản xạ ngôn ngữ, khiến chúng ta ngại nói tiếng Anh, sợ sai khi nói.

Chúng ta hãy chú tâm vào việc giao tiếp; các cấu trúc văn phạm sẽ được dễ dàng ghi nhớ khi học qua một loạt các ngữ cảnh, hơn là chỉ chú tâm học theo các quy tắc. Dần dần, chúng ta sẽ thấy các lỗi văn phạm càng lúc càng ít đi.

3. Sự lưu loát và độ chính xác

Khi thực tập nói tiếng Anh, chúng ta cần phải kết hợp và ý thức được hai loại bài tập: các bài tập rèn luyện khả năng diễn đạt lưu loát (phân vai, đối thoại, trao đổi nhóm…) và các bài tập rèn luyện sự chính xác.

4. Suy nghĩ bằng tiếng Anh

Một trong những sai lầm nghiêm trọng thường gặp là chúng ta có khuynh hướng “dịch” (từ tiếng mẹ đẻ sang tiếng Anh) trước khi nói. Việc này ngay lập tức tạo ra một rào cản ngôn ngữ.

Ví dụ, khi chúng ta muốn bỏ một cuộc hẹn, chúng ta sẽ nghĩ trong đầu câu: ”Tôi muốn hủy cuộc hẹn đó”. Sau đó chúng ta dịch câu đó sang tiếng Anh. Chúng ta sẽ gặp vấn đề vì chúng ta có thể không nhớ, hoặc không biết các từ “cancel” và “appointment” để hình thành câu ”I would like to cancel the appointment”.

Nếu chúng ta nghĩ bằng tiếng Anh, chứ không phải là dịch trước khi nói, chúng ta sẽ không gặp phải vấn đề này, vì có nhiều cách diễn đạt tình huống này bằng tiếng Anh, ví dụ: “I’m sorry. I’m not free tomorrow” hay “I’m afraid I can’t come tomorrow”, v.v…

5. Nghe và hiểu

Chúng ta cần phải nghe một khoảng thời gian (nhanh hay chậm tùy theo mỗi người). Và vì thế, việc luyện nghe rất quan trọng: Hãy nghe bất cứ khi nào, bất cứ ở đâu. Chúng ta có thể nhớ hàng trăm câu trong đầu, nhưng nếu chúng ta không nghe được thì tất cả đều vô nghĩa, giống như một khách du lịch cầm quyển sách học tiếng, hỏi đường và không thể đến nơi được vì không thể hiểu người chỉ đường nói gì.

Khi khả năng hiểu tiếng Anh của chúng ta tiến bộ thì cách tự nhiên, chúng ta cũng sẽ thấy tự tin và tiến bộ trong khả năng nói.

6. Chủ động: Trách nhiệm thuộc về chính chúng ta

Học giao tiếp tiếng Anh không phải là việc tiếp thu một kiến thức, mà là việc thực hành và thể hiện (performance). Chúng ta phải thực sự nhận lấy “trách nhiệm học” này, không thể ngả lưng ra ghế, nghe giảng viên nói và hy vọng sẽ giao tiếp tốt được. Chúng ta phải chủ động, thành quả của chúng ta sẽ là những gì chúng ta đã bỏ ra. Kỹ năng tốt là sản phẩm của thực hành và sự nỗ lực.

Bí quyết ôn thi đại học

71 chùa láng – thiên đường ielts

Khai giảng khóa IELTS cấp tốc mục tiêu 6.5…

Học bổng res lên đến 2 tỷ đồng dành cho học…

Khai giảng khóa IELTS cấp tốc mục tiêu 6.5…

Luyện thi Ielts cùng Nobel Education USA 59…

phương pháp Nghe Ngấm Deep Listening

Nghe tiếng Anh: Mẹo và phương pháp luyện…

Phương pháp Nghe Tiếng Anh Hiệu Quả kèm link…

Where?!

Cập nhật thông tin chi tiết về Rèn Luyện Kĩ Năng Giải Các Bài Toán Hình Học Phẳng trên website Globaltraining.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!